Przykłady 2

Dokument: pdf (61.8 KB)
  • 5 stron
Opublikowany 2016-11-02 02:20:54

II. Równowaga w modelu wymiany rynkowej. Przykład 1. Na rynek przybywa dwóch handlowców z koszykami towarów a1 = (20, 10), a2 = (8, 20). Funkcje użyteczności, jakimi kierują się handlowcy, mają postać: u1 (x1, x2) = x 1 2 1 x 1 2 2 , u2 (x1, x2) = x 3 4 1 x 1 4 2 . Przy cenach towarów p = (p1, p2) pierwszy handlowiec dysponuje dochodem I1 = p, a1 = 20 p1 + 10 p2, równym wartości posiadanego koszyka towarów a1 , zaś drugi handlowiec dysponuje odpowiednio dochodem I2 = p, a2 = 8 p1 + 20 p2, równym wartości posiadanego koszyka towarów a2 . Funkcję popytu pierwszego handlowca znajdujemy rozwiązując zadanie maksymalizacji jego funkcji użyteczności (1) max x 1 2 1 x 1 2 2 przy ograniczeniach p1 x1 + p2 x2 ≤ I1, x1, x2 ≥ 0. Optymalny koszyk ¯x1 = (¯x1, ¯x2) > 0, będący rozwiązaniem zadania (1), znajdujemy, korzystając z wniosku 2.20. Rozwiązujemy więc układ trzech równań (2) ∂u1 (x) ∂x1 = 1 2 x −1 2 1 x 1 2 2 = λ p1, (3) ∂u1 (x) ∂x2 = 1 2 x 1 2 1 x −1 2 2 = λ p2, (4) p1 x1 + p2 x2 = I1. Dzielimy równanie (2) przez (3), skąd otrzymujemy (5) x2 x1 = p1 p2 , czyli (6) x2 = p1 p2 x1 1 Wstawiając (6) do równania linii budżetowej (4), dostajemy p1 x1 + p2 p1 p2 x1 = I1, a stąd dalej otrzymujemy (7) ¯x1 = I1 2p1 . Podstawiając (7) do (6), dostajemy (8) ¯x2 = I1 2p2 . Zatem optymalny koszyk pierwszego handlowca ma postać ¯x1 = (¯x1, ¯x2) = I1 2p1 , I1 2p2 . Uwzględniając dochód I1 = 20 p1+10 p2 otrzymujemy funkcję popytu pierwszego handlowca postaci (9) ϕ1 (p) = ¯x1 (p) == 10 + 5 p2 p1 , 10 p1 p2 + 5 . Analogicznie funkcję popytu drugiego handlowca znajdujemy rozwiązując zadanie maksymalizacji jego funkcji użyteczności (1) max x 3 4 1 x 1 4 2 przy ograniczeniach p1 x1 + p2 x2 ≤ I2, x1, x2 ≥ 0. Optymalny koszyk ¯x2 = (¯x1, ¯x2) > 0, będący rozwiązaniem zadania (1)’, znajdujemy, korzystając z wniosku 2.20. Rozwiązujemy więc układ trzech równań (2) ∂u2 (x) ∂x1 = 3 4 x −1 4 1 x 1 4 2 = λ p1, (3) ∂u2 (x) ∂x2 = 1 4 x 3 4 1 x −3 4 2 = λ p2, (4) p1 x1 + p2 x2 = I2. Dzielimy równanie (2)’ przez (3)’, skąd otrzymujemy (5) 3x2 x1 = p1 p2 , 2 czyli (6) x2 = p1 3p2 x1 Wstawiając (6)’ do równania linii budżetowej (4)’, dostajemy p1 x1 + p2 p1 3p2 x1 = I2, a stąd dalej otrzymujemy (7) ¯x1 = 3I2 4p1 . Podstawiając (7)’ do (6)’, dostajemy (8) ¯x2 = I2 4p2 . Zatem optymalny koszyk drugiego handlowca ma postać ¯x2 = (¯x1, ¯x2) = 3I2 4p1 , I2 4p2 . Uwzględniając dochód I2 = 8 p1+20 p2 otrzymujemy funkcję popytu drugiego handlowca postaci (9) ϕ2 (p) = ¯x2 (p) = 6 + 15 p2 p1 , 2 p1 p2 + 5 . Korzystając z (9) i (9)’ wyznaczamy funkcję globalnego popytu (10) ¯x(p) = ¯x1 (p) + ¯x2 (p) = 16 + 20 p2 p1 , 12 p1 p2 + 10 . Wektor globalnej podaży ma postać ¯a = a1 + a2 = (28, 30). Zatem funkcja nadmiernego popytu przybiera postać (11) z(p) = ¯x(p) − ¯a = −12 + 20 p2 p1 , 12 p1 p2 − 20 . 3 Wektor cen równowagi rynkowej ¯p = (¯p1, ¯p2) >> 0, czyli wektor, dla którego zachodzi warunek z(¯p) = 0, znajdziemy rozwiązując układ równań z1(p) = 0 ∧ z2(p) = 0, czyli −12 + 20 p2 p1 = 0 ∧ 12 p1 p2 − 20 = 0. Stąd wektorem cen równowagi jest każdy wektor ¯p = (¯p1, ¯p2) >> 0, który spełnia warunek ¯p1 ¯p2 = 20 12 = 5 3 , czyli wektor postaci (12) ¯p = λ (5, 3), gdzie λ > 0, co oznacza, że stan równowagi istnieje i jest wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do mnożenia przez dodatnią stałą λ. Równowaga występuje, gdy stosunek cen dwóch towarów jakimi handlują handlowcy wynosi 5:3. Natomiast poziom cen, opisany przez liczbę λ, może kształtować się dowolnie. Podstawiając ceny równowagi (12) do funkcji popytu (9), obliczymy popyt zrealizowany przez pierwszego handlowca, czyli koszyk z jakim opuści on rynek: ¯x1 (¯p) = 10 + 5 ¯p2 ¯p1 , 10 ¯p1 ¯p2 + 5 = 10 + 5 · 3 5 , 10 · 5 3 + 5 = 13, 21 2 3 . Analogicznie, podstawiając ceny równowagi (12) do funkcji popytu (9)’, obliczymy popyt zrealizowany przez drugiego handlowca, czyli koszyk z jakim opuści on rynek: ¯x2 (¯p) = 6 + 15 ¯p2 ¯p1 , 2 ¯p1 ¯p2 + 5 = 6 + 15 · 3 5 , 2 · 5 3 + 5 = 15, 8 1 3 . Po dodaniu ¯x1 (¯p) i ¯x2 (¯p) stwierdzamy, że ceny równowagi ¯p = (¯p1, ¯p2) opisane przez (12) rzeczywiście zrównują globalny popyt z globalną podażą, równą (28, 30). 4 Porównując koszyki początkowe a1 i a2 z koszykami końcowymi ¯x1 (¯p) i ¯x2 (¯p), obserwujemy, że handlowiec pierwszy sprzedał drugiemu 7 jednostek pierwszego towaru (transkacja I), zaś drugi sprzedał pierwszemu 112 3 jednostek towaru drugiego (transkacja II). Obliczymy wartości tych transakcji: I. 7 · ¯p1 = 7 · 5λ = 35λ, II. 11 2 3 · ¯p2 = 11 2 3 · 3λ = 35λ. Na dokonanej wymianie żaden z handlowców nie zarobił ani też nie stracił finansowo, co można uznać za uczciwą wymianę. Wprawdzie handlowcy nie zarobili pieniędzy, ale za to zyskali koszyki towarów o wyższej użyteczności, co łatwo sprawdzić, obliczając użyteczności koszyków początkowych, czyli tych, z którymi handlowcy przybyli na rynek oraz koszyków nabytych podczas transakcji. Dla pierwszego handlowca mamy u1 (a1 ) = a1 1 · a1 2 = √ 20 · 10 ≈ 14, 14; u1 (¯x1 (¯p)) = 13 · 21 2 3 ≈ 16, 78; zaś dla drugiego otrz...

Komentarze do: Przykłady 2 • 0