PROBA W07

Dokument: pdf (73.9 KB)
  • 2 stron
Opublikowany 2017-07-23 02:49:53

Wykład siódmy Niezale˙zno´s´c zmiennych losowych Wybrane rozkłady dwuwymiarowe 1. Niezale˙zno´s´c zmiennych losowych Definicja 1 Jednowymiarowe zmienne losowe X, Y okre´slone na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) nazy- wamy niezale˙znymi, je˙zeli dla wszystkich zbiorów B1, B2 ⊂ R zachodzi równo´s´c P(X ∈ B1, Y ∈ B2) = P(X ∈ B1) · P(Y ∈ B2). Zmienne losowe, które nie s ˛a niezale˙zne, nazywamy zale˙znymi. Twierdzenie 1 Zmienne losowe X, Y s ˛a niezale˙zne wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich x, y ∈ R FXY (x, y) = FX(x) · FY (y). Twierdzenie 2 (Niezale˙zno´s´c zmiennych losowych o rozkładach dyskretnych) Zmienne losowe X i Y o rozkładach dyskretnych s ˛a niezale˙zne wtedy i tylko wtedy, gdy 1. SXY = SX × SY ; 2. Dla ka˙zdego punktu (x, y) ∈ SXY P(X = x, Y = y) = P(X = x) · P(Y = y). Twierdzenie 3 (Niezale˙zno´s´c zmiennych losowych o ł ˛acznym rozkładzie ci ˛agłym) Zmienne losowe X i Y o ł ˛acznym rozkładzie ci ˛agłym s ˛a niezale˙zne wtedy i tylko wtedy, gdy fXY (x, y) = fX(x) · fY (y) prawie wsz˛edzie. Twierdzenie 4 Je´sli zmienne losowe X i Y s ˛a niezale˙zne oraz g1, g2 s ˛a funkcjami takimi, ˙ze, g1(X), g2(Y ) s ˛a zmiennymi losowymi, to g1(X) i g2(Y ) równie˙z s ˛a niezale˙zne. 2. Wybrane rozkłady dwuwymiarowe 2.1 Rozkład jednostajny Definicja 2 Zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład jednostajny w obszarze D ⊂ R2 o sko´nczonej niezerowej mierze Lebesgue’a, je´sli dla ka˙zdego punktu (x, y) ∈ R2 fXY (x, y) =    0 , (x, y) /∈ D 1 |D| , (x, y) ∈ D . Twierdzenie 5 Je´sli (X, Y ) ma rozkład jednostajny w prostok ˛acie [a; b] × [c; d], to 1. X i Y s ˛a nuezale˙zne; 2. X ma rozkład jednostajny w przedziale [a; b], natomiast Y ma rozkład jednostajny w przedziale [c; d]. Uwaga Je´sli (X, Y ) ma rozkład jednostajny w obszarze D, to dla dowolnego A ⊂ R2 P((X, Y ) ∈ A) = |A ∩ D| |D| . 1 2.2 Rozkład normalny Definicja 3 Zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład normalny z parametrami m ∈ R2 i C, gdzie C jest symetryczn ˛a macierz ˛a kwadratow ˛a stopnia 2, dodatnio okre´slon ˛a, je´sli dla ka˙zdego (x, y) ∈ R2 fXY (x, y) = 1 2π √ detC exp − 1 2detC c22(x − m1)2 − 2c12(x − m1)(y − m2) + c11(y − m2)2 . Znaczenie parametrów m i C: Je´sli (X, Y ) ∼ N m1 m2 , c11 c12 c12 c22 , to m1 = EX, m2 = EY, c11 = σ2 1 = V X, c22 = σ2 2 = V Y, c12 = c21 = ρσ1σ2, gdzie σ1 > 0 , σ2 > 0, −1 < ρ < 1. Zatem, je´sli (X, Y ) ∼ N(m, C), to C = σ2 1 ρσ1σ2 ρσ1σ2 σ2 2 oraz fXY (x, y) = 1 2π 1 − ρ2σ1σ2 exp − 1 2(1 − ρ2) (x − m1)2 σ2 1 − 2ρ (x − m1)(y − m2) σ1σ2 + (y − m2)2 σ2 2 . Twierdzenie 6 Je˙zeli (X, Y ) ∼ N m1 m2 , σ2 1 ρσ1σ2 ρσ1σ2 σ2 2 , to 1. X i Y sa niezale˙zne w.tw., gdy ρ = 0; 2. X ∼ N(m1, σ2 1) i Y ∼ N(m2, σ2 2). 2

Tagi:

Komentarze do: PROBA W07 • 0