zmienne strona pana O

Dokument: pdf (86.2 KB)
  • 3 stron
Opublikowany 2016-11-28 23:06:52

Zmienne losowe i ich rozkłady c.d. Własności wartości oczekiwanej i wariancji: 1) ccE =)( , 0)( =cVar , gdzie c jest stałą, 2) )()( XEcXcE ⋅=⋅ , )()( 2 XVarcXcVar ⋅=⋅ , 3) )()()( YEXEYXE +=+ , 4) )()( XVarcXVar =+ , Ponadto, jeśli zmienne X i Y są niezależne, to: 5) )()()( YEXEYXE ⋅=⋅ , 6) )()()( YVarXVarYXVar +=± . Def. Zmienną losową X, dla której 0=EX oraz 1)( =XVar nazywamy zmienną losową standaryzowaną. Podstawowe rozkłady prawdopodobieństwa 1) Rozkłady zmiennych dyskretnych: a) Rozkład zerojedynkowy Zmienna losowa X ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p, jeśli przyjmuje tylko dwie wartości: • 1; z prawdopodobieństwem p, • 0; z prawdopodobieństwem 1–p. Parametry rozkładu zerojedynkowego: • pEX = , • )1()( ppXVar −⋅= . b) Rozkład dwumianowy (Bernoullego) Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n oraz p, jeśli przyjmuje wartości nk ,...,2,1,0= z prawdopodobieństwami danymi wzorami: knk k pp k n kXPp − −⋅⋅      === )1()( , dla nk ,...,2,1,0= . Parametry rozkładu dwumianowego: • npEX = , • )1()( pnpXVar −= . c) Rozkład Poissona Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem 0>λ , jeśli przyjmuje wartości ,...,2,1,0=k z prawdopodobieństwami danymi wzorami: λλ − ⋅=== e k kXPp k k ! )( , dla ...,2,1,0=k . Parametry rozkładu Poissona: • λ=EX , • λ=)(XVar . 2) Rozkłady zmiennych ciągłych: a) Rozkład jednostajny Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale ),( ba , jeśli jej gęstość f ma postać:     ∉ ∈ −= ),(dla;0 ),(dla; 1 )( bax bax abxf Parametry rozkładu jednostajnego: • 2 ab EX + = , • 12 )( )( 2 ab XVar − = . b) Rozkład normalny (Gaussa) Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami m oraz 0>σ (ozn. ),( 2 σmN ), jeśli jej gęstość f ma postać: 2 2 2 )( 2 1 )( σ πσ mx exf − − ⋅= , Rx∈ . Parametry rozkładu normalnego: • mEX = , • 2 )( σ=XVar . Wniosek. Funkcja gęstości rozkładu normalnego standaryzowanego )1,0(N ma postać: 2 2 2 1 )( x exf − ⋅= π , Rx∈ . Rys. Funkcja gęstości rozkładu normalnego dla różnych wartości parametrów m oraz σ .

Tagi:

Komentarze do: zmienne strona pana O • 0